Aplicações do cálculo


Aplicações do cálculo na física

É o conceito de derivada temporal, que é a taxa de mudança ao longo do tempo, e que é necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição s de um objecto são importantes na física newtoniana:
  • Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise)v é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
  • Aceleração a é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.
Posto de outro modo:
\begin{align}v(t)&=\frac{ds}{dt}\\a(t)&=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}\end{align}


Outra aplicação do cálculo para a física é a dedução da fórmula do momento de inércia :

O teorema de Steiner ou teorema dos eixos paralelos é uma fórmula que nos permite calcular o momento de inércia de um sólido rígido relativo a um eixo de rotação que passa por um ponto O, quando conhecemos o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior e que passa pelo centro de massas e a distância entre os eixos.
Considerando-se:
ICM denota o momento de inercia do objeto sobre o centro de massa,
M a massa do objeto e h a distância perpendicular entre os dois eixos.

Dedução da fórmula do momento de inércia através do teorema dos eixos paralelos:


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Energia Potencial Gravitacional

A fórmula da energia potencial gravitacional pode ser encontrada da seguinte maneira:

Vamos lançar uma bola de beisebol diretamente a partir da Terra. Queremos encontrar uma expressão para a energia potencial gravitacional U da bola em um ponto P ao longo de sua trajetória, a uma distância radial R do centro da Terra. Para fazer isso, primeiramente encontramos o trabalho W realizado sobre a bola pela força gravitacional à medida que a bola se desloca de um ponto P até uma grande (infinita) distância da Terra.Como a força gravitacional F(r) é uma força variável (seu módulo depende de r ). Em notação vetorial, podemos escrever :


A integral contém o produto escalar da força F(r) e do vetor deslocamento diferencial dr ao longo da trajetória da bola. Podemos expandir esse produto como:


onde Fi é o ângulo entre os sentidos de F(r) e dr. Quando substituímos Fi por 180° e fazendo algumas outras substituições, temos :


onde M é a massa da Terra e m a massa do corpo.
Integrando obtemos:

                               

onde W é o trabalho necessário para deslocar o corpo de um ponto P até o infinito. Podemos também escrever esse trabalho em termos de energias potências, como:




Como a energia potencial no infinito é nula, U é a energia potencial em P. W se torna :






O Cálculo Integral e Diferencial na Físico-Química

  A Físico-Química é a ciência que nos proporciona instrumentos para interpretar e dominar os fenômenos naturais. Na base dessa ciência encontram-se os princípios fundamentais da termodinâmica, classicamente ensinados a partir do comportamento dos sistemas macroscópicos.
  Ela também compreende a física, sendo a disciplina que estuda as propriedades físicas e químicas da matéria, através da combinação de duas ciências: a física, onde se destacam áreas como a termodinâmica e a mecânica quântica, e a química. Suas funções variam desde interpretações das escalas moleculares até observações de fenômenos macroscópicos.
  A Físico-química moderna possui áreas de estudo importantes como a termoquímica, cinética química, química quântica, mecânica estatística e química elétrica. A Físico-química também é fundamental para a ciência dos materiais. 

  E o cálculo diferencial e integral é indispensável para o entendimento dos fundamentos da físico-química e não somente a sua aceitação, pois um bom cientista é aquele que entende o porque do que faz.












 




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