O Princípio de Indução Finita:
Algumas vezes nos defrontamos com afirmações envolvendo os números naturais e a questão que surge é: será tal afirmação verdadeira sempre, ou seja, vale para qualquer número natural?
Exemplo 1:1+2+...+n= [n(n+1)]/2
Exemplo 2:1+q+q2+...+qn= [1-q^(n-1)]/(1-q) , para todo número natural n.
Exemplo 3:A igualdade (n+1).(n-1)+[(n-1).(n-2)...(n-1000)]= n2-1 , vale para todo número natural?
Exemplo 4:A soma dos n primeiros números ímpares é n2.
É claro que para responder às questões colocadas pelos problemas não basta "testar" a veracidade das "fórmulas" substituindo valores específicos para n. Por mais que as igualdades ganhem credibilidade, nunca poderemos estar garantindo sua validade para algum valor de n que não tenha sido testado!
Segundo Simmons, há um abismo entre "provavelmente verdadeira" e "absolutamente certa". É necessário um argumento lógico garantindo que uma certa propriedade envolvendo os números naturais seja sempre verdadeira para todos os valores de n, para eliminar qualquer dúvida. Isto é o que realiza o método de demonstração por indução matemática.
George F. Simmons, professor no Colorado College, é autor do livro CALCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA.,Volume 1, Editora Makron Books do Brasil, 1997.
Algumas vezes, temos argumentos para verificar a veracidade de uma tal afirmação. Outras vezes, fazemos uso de um Teorema que nos fornece um método para demonstrar igualdades, desigualdades, ou, de modo mais geral, propriedades que dependem de números naturais.
Esse Teorema é conhecido como o Princípio da Indução Finita - P.I.F. - cujo enunciado é o seguinte:
Princípio da Indução Finita:
Seja P(n) uma propriedade descrita em termos de números naturais n. Suponhamos que as afirmações abaixo estejam satisfeitas:
a) P(1) é válida.
b) Se P(k) vale, então P(k+1) também vale.
b) Se P(k) vale, então P(k+1) também vale.
Nesse caso então P(n) é válida para todo n>=1
O P.I.F., intuitivamente, nos garante que se tivermos um conjunto finito de, por exemplo, peças de dominó dispostas verticalmente, de tal modo que quando uma cai, a seguinte cai - e sendo dado que a primeira cai - concluímos que todas caem. Evidentemente, não importa quantas peças tenhamos em nosso conjunto...
Provar a veracidade de uma dada afirmação, utilizando o Princípio da Indução Finita, significa, em comparação à situação das peças do dominó, mostrar que todas as peças caem. Para tanto, pelo Teorema, basta mostrar que a primeira cai e que, quando uma qualquer cai, a seguinte cai.
Um Pouco de Lógica e Teoria dos Conjuntos:
A linguagem matemática não é aquela utilizada no dia a dia, quando nos expressamos através de algum idioma, seja ele português, inglês, italiano, espanhol, etc, basta comparar um texto matemático com um texto literário, para percebermos a diferença. E não se trata apenas de uma questão de simbologia; a questão fundamental reside na lógica interna da linguagem matemática que é diferente daquela da língua materna.
Em Matemática, todas as palavras têm um sentido preciso. Isso significa que o conhecimento do significado das palavras é fundamental.
1. A linguagem proposicional
Uma oração ou frase em Matemática pode estar afirmando um fato correto - isto é, verdadeiro (V) - ou errado - isto é, falso (F) -. A partir de frases, verdadeiras ou falsas, podemos formar outras frases usando expressões como: "... e ...", "... ou ...", "não...", "se ... então ...", "... se, e somente se, ...", "... sempre que ...", "... equivalente a ...", "... portanto ...", e assim por diante.
A fim de facilitar o entendimento, vamos denotar uma frase qualquer por uma letra minúscula do alfabeto: p, q, r, s, etc.
A veracidade ou falsidade de uma proposição que envolve alguma das expressões acima - isto é, uma proposição composta - pode ser concluída através da chamada tabela-verdade, que é construída a partir da combinação dos valores V ou F das proposições básicas, que compõem a frase.
A negação: Dada uma frase p, que pode ser V ou F, sua negação - que se indica por "~p" - será, respectivamente F ou V.
A conjunção "... e ...": Dadas duas frases p e q, que podem ser V ou F, a frase "p e q" - que também é indicada por "p ^ q
A disjunção "... ou ...": Dadas duas frases p e q, que podem ser V ou F, a frase "p ou q" - que também é indicada por "p v q
A implicação "se ... então ...": Dadas duas frases p e q, que podem ser V ou F, a frase "se p então q" - que também é indicada por "p => q
A equivalência "...se e somente se...": Dadas duas frases p e q, que podem ser V ou F, a frase "p se e somente se q" ou "p é equivalente a q" - que também é indicada por "p <=> q
2. A quantificação
Em Matemática utilizam-se dois quantificadores: o existe e o para todo.
A expressão "existe"
Encontramos situações em que aparece a expressão "existe um único"
A expressão "para todo"
Se p é uma proposição: "existe x tal que x verifica a propriedade P", a negação do "existe" significa que a propriedade enunciada não é satisfeita "para todo" elemento do universo em questão. Ou seja, qualquer elemento do universo considerado não satisfaz a propriedade P. Por exemplo,
se p: existe x tal que x<4,
então ~p: qualquer que seja x, x>=4
Por outro lado, se q é uma proposição: "qualquer que seja x, x verifica a propriedade P", a negação do "para todo" significa que "existe" algum elemento no universo que não satisfaz a propriedade em questão. Ou seja, existe pelo menos um elemento no universo que não verifica a propriedade P. Por exemplo,
se q: para todo x, 2x=0
então ~q: existe x, tal que 2x seja diferente de zero
3. Teoremas e demonstrações
Essencialmente, todos os resultados da matemática - ou seja, as afirmações que podem ser chamadas teoremas, ou proposições, ou mesmo lemas - são da forma hipótese(s) implica(m) tese. Dito de outra maneira, os resultados são da forma: partindo de alguns pressupostos - hipóteses - podemos concluir a tese.
O processo de demonstração de um resultado é realizado a partir dessas hipóteses e, mediante raciocínios mais ou menos elementares, onde vão sendo obtidas conclusões intermediárias, até se chegar à conclusão desejada.
Uma demonstração é uma lista de evidências de que a afirmação do teorema é verdadeira.
Sono favorece esclarecimento de problemas
Pesquisadores alemães comprovaram que sono suficiente estimula, além da memória, a inteligência e a criatividade. Quando dormimos, nosso cérebro continua trabalhando nos problemas que nos ocuparam de dia.
Como muitas vezes acontece, a ciência um dia consegue comprovar o que o bom senso já sabia e que, no caso do sono, acabou virando expressão idiomática em alemão. "Einmal drüber schlafen" (dormir uma noite sobre a questão) recomenda-se, entre outras situações, quando a decisão é difícil ou o problema cabeludo.
Resolver dormindoO psicólogo Ullrich Wagner comprovou agora, juntamente com seu grupo de pesquisadores da Universidade de Lübeck, que o sono ajuda mesmo a resolver questões difíceis. Para isso ele desenvolveu um teste especial, com tarefas de matemática. Sua experiência está descrita na última edição da revista científica britânica "Nature".
"Efeitos benéficos do sono sobre a memória já foram provados. Mas nós estávamos atrás de uma prova de que ele é capaz de produzir uma mudança qualitativa, um insight", expôs Wagner. A prova de que uma noite bem dormida ajuda nesse momento importante de fazer um conhecimento novo, uma descoberta, foi obtida com a ajuda de 66 estudantes, homens e mulheres, entre 18 e 32 anos, que receberam a tarefa de modificar seqüências de números de acordo com certas regras.
Conscientização após o sonoOs voluntários foram divididos em três grupos. Todos receberam as mesmas tarefas, que deveriam ser executadas em duas fases. Um grupo pôde dormir oito horas entre a primeira e a segunda fase. Os estudantes do segundo grupo tiveram que permanecer acordados a noite toda e fazer a segunda parte da sua "lição" cansados e de olhos vermelhos. Para poder comparar o efeito da exaustão, um terceiro grupo recebeu a primeira parte da tarefa de manhã, e a segunda à noite, também sem ter dormido durante o dia.
As séries de números foram feitas de forma a incentivar apenas o aprendizado do procedimento, na primeira fase. Para decifrar totalmente o sistema de números, era preciso um "processo explícito de conscientização", segundo o psicólogo. Isso deveria acontecer, quando muito, na segunda fase.
Resultado
O resultado foi que 60% dos estudantes do grupo que dormiu conseguiram resolver os problemas de matemática. O desempenho dos outros dois grupos foi bem inferior, e curiosamente ambos ficaram pouco acima de 20%.
Mesmo tendo partido da hipótese de que o sono desempenhava um papel fundamental no insight, Wagner mostrou-se surpreso de que o efeito fosse tão forte. Ao que tudo indica, as pessoas no estado normal de consciência facilmente se vêem em um beco sem saída diante de problemas. "Para adquirir uma certa distância provavelmente é melhor pensar no assunto à noite e depois dormir", diz.
Fases do sonoPara o diretor do estudo, Jan Born, do Instituto de Neuroendocrinologia, os resultados confirmam análises bioquímicas do cérebro. Estas indicam que o cérebro reestrutura as lembranças, antes de arquivá-las. Tal processo parece influenciar de forma positiva a criatividade. No entanto, os cientistas ainda não desvendaram como isso acontece exatamente. Segundo Jan Born, a solução de problemas ocorre durante a fase de sono profundo, que costuma durar as primeiras quatro horas de um sono de oito horas.
Os resultados também poderiam ajudar a entender os problemas de memória de pessoas de idade, que freqüentemente se queixam de dificuldades para dormir. A lenta diminuição da fase de sono profundo também está relacionada com falhas de memória. Born e sua equipe teriam inventado um teste muito refinado para descobrir em que momento se dá o conhecimento, afirmam os pesquisadores Pierre Maquet e Perrine Ruby, em comentário publicado na revista Nature.
O estudo deveria servir de advertência aos empregadores, às escolas e autoridades em geral, já que o sono tem enorme influência no rendimento humano. Os resultados do estudo "fornecem uma boa razão para respeitarmos os nossos períodos de sono", concluem.
Como muitas vezes acontece, a ciência um dia consegue comprovar o que o bom senso já sabia e que, no caso do sono, acabou virando expressão idiomática em alemão. "Einmal drüber schlafen" (dormir uma noite sobre a questão) recomenda-se, entre outras situações, quando a decisão é difícil ou o problema cabeludo.
Resolver dormindoO psicólogo Ullrich Wagner comprovou agora, juntamente com seu grupo de pesquisadores da Universidade de Lübeck, que o sono ajuda mesmo a resolver questões difíceis. Para isso ele desenvolveu um teste especial, com tarefas de matemática. Sua experiência está descrita na última edição da revista científica britânica "Nature".
"Efeitos benéficos do sono sobre a memória já foram provados. Mas nós estávamos atrás de uma prova de que ele é capaz de produzir uma mudança qualitativa, um insight", expôs Wagner. A prova de que uma noite bem dormida ajuda nesse momento importante de fazer um conhecimento novo, uma descoberta, foi obtida com a ajuda de 66 estudantes, homens e mulheres, entre 18 e 32 anos, que receberam a tarefa de modificar seqüências de números de acordo com certas regras.
Conscientização após o sonoOs voluntários foram divididos em três grupos. Todos receberam as mesmas tarefas, que deveriam ser executadas em duas fases. Um grupo pôde dormir oito horas entre a primeira e a segunda fase. Os estudantes do segundo grupo tiveram que permanecer acordados a noite toda e fazer a segunda parte da sua "lição" cansados e de olhos vermelhos. Para poder comparar o efeito da exaustão, um terceiro grupo recebeu a primeira parte da tarefa de manhã, e a segunda à noite, também sem ter dormido durante o dia.
As séries de números foram feitas de forma a incentivar apenas o aprendizado do procedimento, na primeira fase. Para decifrar totalmente o sistema de números, era preciso um "processo explícito de conscientização", segundo o psicólogo. Isso deveria acontecer, quando muito, na segunda fase.
Resultado
O resultado foi que 60% dos estudantes do grupo que dormiu conseguiram resolver os problemas de matemática. O desempenho dos outros dois grupos foi bem inferior, e curiosamente ambos ficaram pouco acima de 20%.
Mesmo tendo partido da hipótese de que o sono desempenhava um papel fundamental no insight, Wagner mostrou-se surpreso de que o efeito fosse tão forte. Ao que tudo indica, as pessoas no estado normal de consciência facilmente se vêem em um beco sem saída diante de problemas. "Para adquirir uma certa distância provavelmente é melhor pensar no assunto à noite e depois dormir", diz.
Fases do sonoPara o diretor do estudo, Jan Born, do Instituto de Neuroendocrinologia, os resultados confirmam análises bioquímicas do cérebro. Estas indicam que o cérebro reestrutura as lembranças, antes de arquivá-las. Tal processo parece influenciar de forma positiva a criatividade. No entanto, os cientistas ainda não desvendaram como isso acontece exatamente. Segundo Jan Born, a solução de problemas ocorre durante a fase de sono profundo, que costuma durar as primeiras quatro horas de um sono de oito horas.
Os resultados também poderiam ajudar a entender os problemas de memória de pessoas de idade, que freqüentemente se queixam de dificuldades para dormir. A lenta diminuição da fase de sono profundo também está relacionada com falhas de memória. Born e sua equipe teriam inventado um teste muito refinado para descobrir em que momento se dá o conhecimento, afirmam os pesquisadores Pierre Maquet e Perrine Ruby, em comentário publicado na revista Nature.
O estudo deveria servir de advertência aos empregadores, às escolas e autoridades em geral, já que o sono tem enorme influência no rendimento humano. Os resultados do estudo "fornecem uma boa razão para respeitarmos os nossos períodos de sono", concluem.
